Im allgemeinen Sprachgebrauch ist die Gruppenlaufzeit (GLZ, Symbol $\tau_{gr}$, gemessen in Millisekunden) die Dauer, bis eine bestimmte Frequenz wiedergegeben wird, nachdem das Signal am Eingang angelegt wurde. Diese Definition ist technisch nicht 100% korrekt (siehe weiter unten), vermittelt aber eine erste Anschauung. Oft ist dabei nur das frequenzabhängige Laufzeitverhalten des Übertragungssystems gemeint. Der konstante (für alle Frequenzen gleiche) Anteil wird oft getrennt betrachtet und als Signalverzögerung (Delay) bezeichnet. Er ist z.B. wichtig um Bild und Ton zu synchronisieren, ändert den Klang aber nicht. Entscheidend für den Klang ist nur, ob verschiedene Frequenzen zeitlich auseinanderlaufen. Ein "schwerfälliger" Tieftöner ist beispielsweise durch eine längere GLZ im Bassbereich zu erkennen. Bei der Wiedergabe könnte z.B. Schlagzeug dadurch "zu wenig impulsiv" wirken. Bei höheren Frequenzen wird es besonders problematisch, wenn sich das Laufzeitverhalten beider Stereo Kanäle (z.B. durch einen unsymmetrischen Hörraum) unterscheidet. Schlechte Ortbarkeit und Klangverfärbungen können die Folge sein.

Anfangs etwas irreführend ist die Bezeichnung "Delay" für den entsprechenden Regler am Subwoofer Ausgang. Da hier nur der Frequenzbereich des Subwoofers betroffen ist (d.h. die restlichen Lautsprecher und somit ihre Frequenzen nicht), bewirkt er eine frequenzabhängige Änderung der GLZ, hat also durchaus Einfluss auf den Klang.

Grundsätzlich ist diese Zeitrichtigkeit hörbar, sonst würde ein Logsweep genauso klingen wie ein Knall. Umstritten ist ab wann a) Zeitrichtigkeit b) Phasendrehungen hörbar sind. Die Effekte sind vergleichsweise gering. Ohne Maßnahmen an der Raumakustik, die Optimierung der Aufstellung der Lautsprecher und/oder des/der Subwoofer(s) braucht man sich wohl nicht mit der GLZ zu beschäftigen, danach sicherlich im High End Bereich, ansonsten vielleicht. Konkrete Sachverhalte, die hoffentlich ein wenig zur Klarheit beitragen:

• In der Praxis verwendete Filter erzeugen Phasendrehungen (minimalphasig oder stärker) deren Wert von der Frequenz abhängt.
• Diese Filter beeinflussen die GLZ.
• Nicht nur Frequenzweichen, sondern auch mechanische Systeme wie Bassreflexkanäle und Lautsprecherchassis sind Filter.
• Die Minimalphase kann aus dem Frequenzgang berechnet werden.
• Alles, was in einem realen System darüber hinausgeht, wird als Exzessphase bezeichnet.
• Nur linearphasige Filter haben eine konstante GLZ. Der Preis dafür ist aber ein meist deutlich hörbarere Effekt (Preringing). Sie werden deshalb im Audio-Bereich nur für spezielle Anwendungen eingesetzt.
• FIR-Filter können unter bestimmten Voraussetzungen linearphasig sein (Suchworte: Parks-McClellan-Algorithmus, Equiripple, Remez [Münker 2016]) - siehe auch das Beispiel unten.
• Bei allen anderen Filtern ändert sich die Form eines Signals beim Passieren des Filters, wenn es Frequenzen im Arbeitsbereich des Filters enthält.
• Filter des gleichen Typs erzeugen bei stärkerer Flankensteilheit (6 dB/Okt., 12 dB/Okt...) stärkere Phasendrehungen.
• Eine ausgeprägtere Änderung im Frequenzgang bewirkt i.d.R. auch eine stärkere Phasendrehungen.
• Ein 80 Hz Tschebyscheff Tiefpassfilter mit 48 dB/oct hat je nach Parametrisierung 40 bis 60 ms Delay.
• Jede Nullstelle / Pol im Filterdiagramm erzeugt eine Phasendrehung um $\pi / 2$.
• Filter, die nur ein schmales Frequenzband ansprechen, z.B. gering bedämpfte Bassreflexkanäle in "Boom-Boxen" der unteren Preisklasse, neigen dazu, nach einer Anregung mit dieser Frequenz nachzuschwingen. Møller et al. [Møller 2007] zeigen in einer Modellrechnung, dass die Zerfallskonstante solch eines Nachschwingvorgangs eng mit dem Peak der GLZ verbunden ist. Die Boom-Box speichert die Energie und gibt dank der starken Resonanz nach der GLZ ein kaum bedämpftes Signal wider. Natürlich geht dabei das Profil des Eingangssignals verloren, dafür ist der Wirkungsgrad hoch.
• Analoge Filter mit RLC-Netzwerken können in sehr guter Näherung als minimalphasig angenommen werden, d.h. sie haben bei gleichem Amplitudengang eine geringere, dafür aber frequenzabhängige GLZ.
• Technisch gesehen bleibt ein System aus mehreren nacheinander angewendeten minimalphasigen Filtern (Klangregler, Frequenzweiche, Lautsprecherchassis, Bassreflexkanal) minimalphasig. Die Transferfunktionen werden multipliziert, die Nullstellen werden "gesammelt", aber bleiben wo sie sind.
• Hörräume können nicht als minimalphasig angenommen werden [Goertz 2001].
• Technisch gesehen bleibt ein System aus mehreren parallel angewendeten minimalphasigen Filtern (Wand, Wand, Decke) nicht minimalphasig. Die Transferfunktionen werden addiert, die Nullstellen ändern sich.
• Deshalb könnte die These "Die Exzessphase kommt vom Hörraum" ein brauchbarer Denkansatz sein.
• Deshalb könnten ausgeprägte, scharfe Raumresonanzen höchstwahrscheinlich starke Delays verursachen.
• Typische Werte für konstruktionsbedingten Delay bei Subwoofern sind 10 bis über 30 ms.

• Diese Phasendrehungen ändern das Zeitverhalten des Systems nicht, bzw. höchstens über Umwege durch konstruktive Nichtlinearitäten der Lautsprecher usw.
• Der Hörsinn wird mechanisch unterschiedlich stimuliert, je nachdem, ob ein Burst mit Unter- oder Überdruck beginnt.
• Bestimmte Aufnahmen sollen je nach Polarität besser klingen, Websuche "absolute phase", "absolute polarity" oder "audio all polarity reverse" liefert Ergebnisse von "..no perceptible difference.." bis ".. per Doppelblindtest feststellbarer Unterschied".
• Der Effekt bei Musikwiedergabe ist schwächer als ein unter idealisierten Bedingungen wie dem Burst-Experiment.
• Der gehörte Unterschied durch Laufzeiteffekte dürfte in der Praxis, auch im High End Bereich oder in Tonstudios, deutlich größer sein.

Videos

YouTube.com: 1. Phase und Delay: Rezept für Subwoofer Einstellung. Phasenregler einstellen mit Zentimetermaß und Smartphone

YouTube.com: 2. Phase und Delay: Messungen mit Oszi an einer Speaker Management Unit Behringer Ultra Drive DCX 2496

YouTube.com: 3. Phase und Delay: Messungen mit Soundkarte?

YouTube.com: 4. Phase und Delay: Interpretation der Ergebnisse

Ab wann sind Laufzeiteffekte hörbar?

Die Hörschwelle hängt stark von Raum, Equipment und Hörer ab. Bis heute wird häufig [Blauert 1978] als Anhaltspunkt verwendet:
"Frequency Threshold of Audibility
8 kHz 2 ms
4 kHz 1.5 ms
2 kHz 1 ms
1 kHz 2 ms
500 Hz 3.2 ms"
Bei Frequenzen im Bereich unter 100 Hz liegt die Hörschwelle bei deutlich höheren Werten, vermutlich im Bereich von 10 bis 20 ms. Verlässliche Messdaten sind in diesem Bereich allerdings rar; eine Abschätzung aus der Frequenzauflösung des Gehörs ergibt bei 50 Hz rund 8 bis 10 ms (siehe Gammatone-Filter und ERB). Ein Anstieg der Laufzeit von 10 auf 40 ms führt zu "relevanten Unterschieden" [Goertz 2001].

Die Beispielmessungen mit der App "Subwoofer Optimizer" zeigen für die elektrostatischen Lautsprecher Unregelmäßigkeiten in der GLZ, die in dieser Größenordnung liegen. Die preiswerteren dynamischen Lautsprecher in einem weniger gedämmten Hörraum haben deutlich schlechtere Werte. Diese Unterschiede sind deutlich hörbar. Die preiswerteren Lautsprecher liefern im besser gedämmten Wiedergaberaum zwar mehr Klangdefinition durch den reduzierte Diffusschall, die Akzentuiertheit der Elektrostaten kann aber nicht erreicht werden.

Der subjektive Unterschied hängt nach eigenen Versuchen vom Tonmaterial (impulsartig, periodisch) ab. Auch ungeübte Hörer hören die Unterschiede mühelos, soweit sie die innere Ruhe haben, sich auf das Hörerlebnis einzulassen. Korrekturen der GLZ durch FIR-Filter verbessern die Situation erheblich, schließen die Lücke zwischen den verschiedenen Lautsprechern aber nicht.

Hörbarkeit: Wie fein hört das Gehör Laufzeiten? "Laufzeit" meint je nach Zusammenhang sehr Verschiedenes. Die Empfindlichkeit des Gehörs reicht über mehr als drei Größenordnungen, weil jeweils andere Mechanismen beteiligt sind. Rund 10 µs, also 3 mm Weg: die Richtung einer Schallquelle. So kleine Laufzeitunterschiede zwischen linkem und rechtem Ohr sind wahrnehmbar; das entspricht rechnerisch etwa 1° Richtungsänderung vor dem Kopf. Jeffress hat dafür eine These formuliert [Jeffress 1948]: Die Hörnerven feuern im Takt der einzelnen Wellen (Phase-Locking), für die Feinstruktur nutzt das Gehör das bis etwa 1,5 kHz. Die Impulse beider Ohren laufen über unterschiedlich lange Nervenbahnen zu Koinzidenzneuronen, die nur dann feuern, wenn beide Impulse gleichzeitig ankommen; welches Neuron feuert, verrät die Laufzeitdifferenz. Bei der Schleiereule ist dieser Aufbau nachgewiesen [Carr 1990]. Ein einzelnes Neuron arbeitet viel ungenauer als 10 µs – die Präzision entsteht aus dem Zusammenspiel sehr vieler Nervenfasern. Bruchteile einer Periodendauer, im Hochton Millimeter bis Zentimeter: die Überlagerung zweier Schallquellen. Strahlen zwei Chassis oder zwei Lautsprecher dieselbe Frequenz ab, entscheidet der Gangunterschied über Auslöschung oder Verstärkung, über die Bündelung an der Übernahmefrequenz und über Kammfiltereffekte. Das ist Wellenphysik und wird über den Frequenzgang hörbar, nicht über ein Zeitempfinden. Deshalb wird bei der Aufstellung und beim Einmessen zentimetergenau gearbeitet, obwohl niemand 0,1 ms Zeitunterschied zwischen verschiedenen Frequenzbändern hört. 0,1 bis 1,5 ms, also 3 bis 50 cm: die Lage der Phantomschallquelle. Zwischen linkem und rechtem Lautsprecher entsteht das Hörereignis aus beiden Signalen (Summenlokalisation). Ab etwa 1 bis 1,5 ms Vorsprung erscheint der Klang nur noch im früheren Lautsprecher [Blauert 1997]. Wer 30 cm aus der Mitte sitzt, verschiebt die Abbildung also bereits erheblich. 0,5 bis 20 ms, je nach Frequenz und Signal: die Zeitrichtigkeit innerhalb eines Kanals. Das sind die Schwellen oben; sie liegen grob beim 1,5-fachen der Zeitkonstante der Hörfilter (siehe Gammatone-Filter und ERB). Neuere ABX-Hörversuche mit Kopfhörer und besonders kritischen, impulsartigen Testsignalen kommen auf etwa 0,6 ms zwischen 500 Hz und 4 kHz, mit einer realen Aufnahme auf 1,5 bis 4,5 ms. Frequenzbereiche, die zu früh kommen, fielen dabei leichter auf als verspätete [Liski 2021]. 1 bis 80 ms, also 0,3 bis 27 m: frühe Reflexionen. Sie verschmelzen mit dem Direktschall und bestimmen Klangfarbe, Bühnenbreite und Räumlichkeit; für die Richtung zählt die erste Wellenfront (Präzedenzeffekt). Eine Einteilung nach Laufzeit und Frequenz steht im Kapitel Klassifizierung. Darüber hinaus, ab etwa 80 ms, geht es um Nachhall, Einhüllung und Raummoden. Das Gehör verlässt sich dabei nicht auf einen einzigen Mechanismus. Es wertet Laufzeit- und Pegelunterschiede zwischen den Ohren und die Klangfärbung durch Kopf und Ohrmuschel aus und stützt sich offenbar auf das, was im jeweiligen Raum verlässlich ist. In Räumen verfälschen Reflexionen die fortlaufenden Laufzeitunterschiede, die Einsätze von Schallereignissen dagegen kaum; entsprechend stark stützt sich die Ortung auf die erste Wellenfront [Brown 2015]. Außerdem passt sich das Gehör an den Raum an: Nach kurzer Hörzeit werden dessen Reflexionen wirksamer unterdrückt, das Gehirn bildet gewissermaßen ein Modell des Raumes [Clifton 2002].

Was eine Raumkorrektur davon erreichen kann – und wofür sie sich entscheiden muss Die Genauigkeit ist nicht das Problem. Ein FIR-Filter legt die Phase für jede Frequenz fest, und zwar bis auf Bruchteile eines Abtastwerts – bei 44,1 kHz entspricht ein Abtastwert 23 µs, mit gebrochener Verzögerung geht es feiner. Aktive Lautsprecher mit eingebauter Entzerrung nutzen diese Genauigkeit, gemessen unter Freifeldbedingungen und mit entsprechend kurzer Fensterung. Ein Korrekturwert je Frequenz – aber für viele Orte. Eine Korrektur legt pro Kanal und Frequenz genau einen Wert fest, Betrag und Phase. Das begrenzt nicht, wie kompliziert das Zeitverhalten sein darf: Zwei Frequenzen ergeben bereits eine Schwebung, aus vielen lässt sich jedes zeitliche Profil aufbauen – genau davon lebt die Excessphase. Begrenzt ist vielmehr, für wie viele Orte die Korrektur gleichzeitig stimmen kann. Der Lautsprecher geht als gemeinsamer Faktor in alle Hörplätze ein, das Interferenzmuster aus Reflexionen nicht. Deshalb ist es ein Entweder-oder: Wer die Phase darauf verwendet, das Muster am Messpunkt glattzuziehen, legt sie für alle anderen Plätze falsch fest und verschlechtert dort die Zeitrichtigkeit, die der Lautsprecher vielleicht schon hatte. Wie hörbar das ist, ist offen; sicher ist nur, dass ein einfacher Desktop-Lautsprecher hervorragend phasentreu sein kann und ein Mehrwege-Studiomonitor ziemlich schlecht. Entscheidend ist, wo eine Korrektur gilt. Die zeitliche Beziehung der Chassis untereinander ist eine Eigenschaft des Lautsprechers und gilt (zumindest bei coaxialen Systemen näherungsweise) in seinem ganzen Abstrahlbereich. Das Interferenzmuster aus Direktschall und Reflexionen gilt dagegen für einen Punkt. Das verbreitete Argument, schon kleine Kopfbewegungen machten eine Korrektur hinfällig, betrifft nur Letzteres: Die erste Wellenfront des Direktschalls ändert sich mit der Hörposition geometrisch und langsam, nicht chaotisch. Genau deshalb ist sie die robuste Größe. Mikrosekunden zwischen den Ohren sind eine andere Aufgabe. Kopfhöreranwendungen wie im Gaming Sektor oder in der Binauraltechnik mit Kopfverfolgung erreichen diese Genauigkeit, weil sie die Signale direkt an den Ohren erzeugen. Bei Lautsprechern entscheidet die Kopfposition, was an den Ohren ankommt; das ginge nur mit Kopfverfolgung und Übersprechkompensation, und auch dann nur für eine Person. Eine Raumkorrektur soll dagegen in einem Hörbereich wirken. In der Praxis verbessert sie die Ortung auch etwas außerhalb der Stereobasis. Zwei Korrekturen hintereinander – typischerweise eine im Lautsprecher eingebaute und eine für den Raum – sind mathematisch unproblematisch: Die Übertragungsfunktionen werden multipliziert, die Nullstellen bleiben, wo sie sind. So lange keine großen Excessphase Anteile mit entsprechendem Preringing als Preis korrigiert werden, sollte eine nachgeschaltete DRC weitere Verbesserungen ermöglichen. Aus [Liski 2021] folgt, dass Preringing kritischer zu bewerten ist als ein etwas träger Einsatz. Allerdings besteht die Gefahr, dass die zweite Stufe anhand einer positionsabhängigen Messung nachkorrigiert, was die erste bereits richtig gemacht hat. Den Raum selbst ändert sie nicht. Resonanzfrequenzen und Abklingzeiten der Raummoden folgen aus den baulichen Eigenschaften des Raumes. Wie stark eine Mode an einer bestimmten Stelle in Erscheinung tritt, hängt dagegen von Quell- und Hörort ab – am Druckbauch kräftig, am Knoten kaum. Auf dieser Trennung beruht die Modellierung mit gemeinsamen Polen und ortsabhängigen Nullstellen [Haneda 1994]; wie jedes Modell gilt sie näherungsweise. Rein rechnerisch ist auch ein solches kompliziertes Resonanzgebäude invertierbar: Ein passend schmales Filter kompensiert den Pol, der Lautsprecher regt die Mode dann kaum noch an, und das wirkt an allen Hörplätzen. Der Raum schwingt weiterhin, wenn ihn etwas anderes anregt – in diesem Sinn bleibt er, wie er ist, auch wenn das Ergebnis am Ohr gut sein kann. Die praktischen Grenzen liegen woanders: Der exakte Kehrwert eines nicht minimalphasigen Anteils ist nicht kausal, jede Näherung erzeugt Preringing; Einbrüche aufzufüllen kostet Headroom und gilt nur für einen Punkt; und die ortsabhängigen Nullstellen aus Direktschall und Reflexionen ändern sich von Hörplatz zu Hörplatz. Was bleibt: Robust korrigierbar sind die frühen Anteile, also der Direktschall der Lautsprecher mit seinem Frequenzgang und den Einsatzzeiten der einzelnen Frequenzbänder (zur bandweisen Optimierung der Phasenkorrektur siehe [Gaus 2026]). Welche Frequenzbereiche dabei praktisch angegangen werden – und ab wo eher der Lautsprecher als der Raum korrigiert wird – steht auf der Seite digitale Raumkorrektur. Im Bass ist ein großer Teil der Verzögerung minimalphasig, also fest an den Frequenzgang gekoppelt: In einer Beispielmessung an den weiter unten beschriebenen Elektrostaten war bei 50 Hz rund 90 % der Verzögerung des Bandeinsatzes minimalphasig (Bewertung wie im Whitepaper Optimierung der Impulsantwort). Dort bestimmt die Amplitudenkorrektur das Zeitverhalten weitgehend mit, eine zusätzliche Phasenkorrektur bringt vergleichsweise wenig.

Wie Filter die "Wellengruppe" verschieben

Es wird häufig argumentiert, eine erhöhte GLZ entstehe durch das Zwischenspeichern von Energie im System. Diese Vorstellung ist jedoch nur eingeschränkt zutreffend und kann in die Irre führen. Für ein intuitives Verständnis ist eine andere Herleitung hilfreicher.

Die GLZ wurde ursprünglich eingeführt, um die Laufzeit eines Signals zu beschreiben, das auf einem frequenzmodulierten Träger übertragen wird, etwa bei der Übertragung von Musik mit einem FM-Sender. Das Nutzsignal ist z.B. ein 1 kHz-Sinus. Es lässt sich als Überlagerung (Interferenz bzw. Schwebung) zweier sehr nahe beieinanderliegender Frequenzen auffassen, die bei einer deutlich höhere Trägerfrequenz (z.B. 100 MHz) liegen. Die Demodulation erfolgt anschließend über ein nichtlineares Element, das dieses Interferenzmuster wieder in Amplitudenänderungen überführt.

Wird im Bereich der hohen Frequenzen ein steilflankiger Filter, etwa ein Allpassfilter, eingefügt, so erfahren die beide unterschiedliche Phasendrehungen. Während eine in der Phase deutlich verschoben wird, bleibt die andere nahezu unverändert. Dadurch verschiebt sich das resultierende Interferenzmuster, also die Lage der "Wellengruppe", zeitlich. Diese Verschiebung liegt in einer Größenordnung, die der Frequenz des Nutzsignals entspricht (z.B. 1 ms). Bei einer Übertragung mit 100 MHz Trägerfrequenz und einem 1 kHz Tonsignal kann sie somit um Größenordnungen größer sein als die Periodendauer der Trägerschwingung selbst.

Diese zeitliche Verschiebung setzt voraus, dass der Filter Energie speichert und wieder abgibt. Allerdings geschieht dies nur für die betroffenen Frequenzanteile und nur über Zeiträume in der Größenordnung der Periodendauer der Trägerfrequenz. Die GLZ entsteht daher primär durch frequenzabhängige Phasendrehungen und nicht zwangsläufig durch ein "Zurückhalten" der Signalenergie über die Periodendauer der hörbaren Schallwellen. Die verbreitete Erklärung über Energiespeicherung kann in bestimmten Kontexten anschaulich sein, ist jedoch keine allgemeingültige oder zwingende Ursache der GLZ.

Messung der GLZ

Room Acoustics Meter und andere Apps aus der Hifi-Apps Serie bieten die Möglichkeit, die GLZ zu messen. Die Ergebnisse hängen dabei sehr stark von Einstellungen und Methode ab, d.h. eine ohne Vorkenntnisse durchgeführte Messung wird bestenfalls zufällig brauchbare Ergebnisse liefern. Das soll hier anhand eines Beispiels erläutert werden: Der "Messaufbau" sind dabei zwei MartinLogan Masterpiece Classic ESL 9. Der Dipol-Charakter zusammen mit dem schnellen Ansprechverhalten dieser Elektrostaten (bzw. das auch nach hinten abstrahlende Tieftönerpaar im Sockel) liefert gute Voraussetzungen, um die Eigenheiten solcher Messungen zu demonstrieren: Einerseits ist an den Aufstellungsorten der Lautsprecher eine erhebliche Schallschnelle zu erwarten, die zu entsprechend ausgeprägten Druckänderungen an den Wänden führt. Der Raum wird also "kräftig mitspielen". Andererseits wirken die Lautsprecher im Klang trotzdem präzise. Dieser scheinbare Widerspruch läßt sich mit den Betrachtungen des vorigen Kapitels erklären:

Wie dort erläutert, weisen große Schwankungen der gemessenen GLZ nicht zwangsläufig auf reale, lokal gespeicherte Energie oder "echte" Laufzeitfehler im physikalischen Sinn hin. In einem Hörraum entstehen sie überwiegend durch frequenzabhängige Phasenverschiebungen infolge von Interferenzen mehrerer Schallanteile. Direkt- und Reflexionsschall überlagern sich mit unterschiedlichen Laufzeiten, wodurch das gemessene Übertragungsmaß komplexe, stark strukturierte Phasenverläufe annimmt. Die daraus berechnete GLZ ist dann vor allem ein mathematisches Maß für diese Interferenzstruktur – nicht für eine eindeutig identifizierbare Verzögerung eines einzelnen Schallereignisses.

Das erklärt auch die extreme Ortsabhängigkeit der GLZ-Messung. Da bereits kleine Positionsänderungen des Mikrofons das Interferenzmuster zwischen Direkt- und Reflexionsschall deutlich verändern, ändern sich auch Phase und GLZ teils drastisch. Diese Schwankungen spiegeln daher eher die lokale Geometrie der Überlagerung wider als eine stabile Eigenschaft des Lautsprechers oder des Raums. Entsprechend ist die GLZ in solchen Bereichen weder robust noch sinnvoll mit Software für digitale Raumkorrektur (DRC) korrigierbar (siehe später). Schon bei minimalen Positionsänderungen – deutlich unterhalb des Ohrabstands – wären Korrekturen nicht mehr passend. Das Ergebnis wäre wahrscheinlich schlechter als die unkorrigierte Version.

Daraus erkennt man, welche Anteile der GLZ überhaupt sinnvoll adressiert werden können: Robust und wahrnehmungsrelevant sind vor allem die Anteile, die aus dem Direktschall kommen, also der Lautsprecherbox und bestenfalls eine sehr nahen Wand. Diese zeigen sich typischerweise in glatten, breitbandigen Verläufen der Phase bzw. GLZ und bleiben über kleine Positionsänderungen hinweg stabil. Demgegenüber sind schmalbandige, stark oszillierende Strukturen in der GLZ meist raum- und positionsbedingt und sollten nicht Gegenstand einer Korrektur sein.

Schließlich ergibt sich daraus eine klare Konsequenz für Messfensterung und Glättung. Zeitliche Fensterung, (frequenzabhängige) Glättung oder die gezielte Beschränkung auf frühe Signalanteile sind essenziell, um die GLZ auf die physikalisch und psychoakustisch relevanten Anteile zu reduzieren. Ziel ist es, jene Phaseninformationen zu isolieren, die tatsächlich einer kohärenten "Wellengruppe" des Direktschalls zugeordnet werden können, und die durch zufällige Interferenzen erzeugten Strukturen bewusst auszublenden.

Sonderfall Raummoden

Schmalbandige Raumresonanzen nehmen in diesem Zusammenhang eine Sonderrolle ein und stehen gewissermaßen zwischen den zuvor beschriebenen Interferenzphänomenen und echten, physikalisch begründeten Verzögerungseffekten. Im rot dargestellten Frequenzgang des rechten Kanals "Frequency Response (Raw)" ist eine entsprechend deutliche Resonanz bei 80 Hz sichtbar, zu 90 Hz hin fällt er stark ab. Mit der starken Amplitudenänderung ist eine entsprechend starke Phasendrehung verbunden, sodass die GLZ "Group Delay (Raw)" buchstäblich um mehr 500 ms springt. Das ist zugegebenermaßen eine Art Rekord-Wert, aber Änderungen über 100 ms bei kaum 10% Frequenzänderung sind keine Seltenheit, unabhängig von Hörraum, Equipment und Software. Schon das ist natürlich kontraintuitiv - sicherlich gibt es kein Wohnzimmer, in dem zwei so benachbarte Töne so unterschiedlich ankommen, als hätten sie einen Wegunterschied von ca. 30 m (100 ms) zurückgelegt, und schon gar nicht über 150 m (500 ms).

Zunächst ist wichtig festzuhalten, dass solche Resonanzen tatsächlich mit einer zeitlichen Energiespeicherung verbunden sind. Im Gegensatz zu zufälligen Interferenzen aus wenigen frühen Reflexionen handelt es sich hier um stehende Wellen, bei denen Schallenergie über viele Perioden hinweg im Raum verbleibt. Diese Energiespeicherung führt zwangsläufig zu einem steilen Phasenverlauf um die Resonanzfrequenz und damit zu einem deutlichen Peak in der GLZ. In diesem Fall ist die verbreitete Interpretation "lange GLZ durch Energiespeicherung" also physikalisch gerechtfertigt. Allerdings sind auch bei Raummoden zwei Aspekte zu unterscheiden.

Erstens ist ihre räumliche Ausprägung stark positionsabhängig. Am Druckmaximum einer Mode ist die Resonanz ausgeprägt, am Knoten hingegen kaum messbar. Entsprechend schwanken auch Amplitude, Phase und GLZ stark mit der Mikrofonposition. Eine an einem einzelnen Punkt gemessene große GLZ kann daher eine lokal dominante Mode widerspiegeln, während sie an einer leicht verschobenen Hörposition deutlich geringer ausfällt oder sogar verschwindet. Das relativiert den Nutzen einer Laufzeitkorrektur, da sie nur lokal wäre.

Zweitens hat die Wahrnehmung von Pegelverlauf, Nachhallzeit und Modulationsverhalten im Tieftonbereich wenig mit der Wahrnehmung der Reaktionszeit eines zu spät angesteuerten Subwoofers zu tun. Eine schmalbandige Gruppenlaufzeiterhöhung wird in der Praxis meist als Dröhnen, Aufdickung oder mangelnde Präzision im Bass wahrgenommen – also als Folge der langen Abklingzeit der Mode, nicht als Verzögerung einer Transienten "der Bass passt irgendwie nicht rein". Für die Praxis der Messung und Korrektur ergeben sich daraus mehrere Konsequenzen:

• Schmalbandige Peaks in der GLZ im Bassbereich sind häufig Indikatoren für reale Raummoden und nicht bloß mathematische Artefakte. Zur sicheren Identifikation dienen Schallfeldmessungen, d.h. Messungen an vielen Raumpositionen.
• Ihre Ursache ist primär die lange Abklingzeit der Mode. Sie sollte auch in einem Wasserfalldiagramm sichtbar sein. Die GLZ ist hier eher ein Symptom als die eigentliche Zielgröße.
• Eine direkte Korrektur der GLZ ist in diesen Fällen kaum sinnvoll oder robust, auch wegen der verbundenen Excess Phase: Vor dem Signal selber muss dazu ein "Anti-Aufschwing-Signal" abgespielt werden, das ist aber bei gängigen Korrekturstärken als störendes Preringing hörbar. Effektiver ist es, die Resonanz selbst zu anzugehen - vorzugsweise durch raumakustische Maßnahmen, wenn es nicht anders geht (oder ergänzend) durch Pegelabsenkung mit geeignet schmalbandigen Filtern.
• In digitalen Korrektursystemen sollte die Fensterung und Glättung so gewählt werden, dass Einschwingvorgänge möglichst stark, modale Effekte vielleicht und feinstrukturierte Interferenzartefakte nicht korrigiert werden.

Zur weiteren Untersuchung habe ich (als Autor von App und Dokumentation) Bursts im Bereich um 80 Hz abgespielt und die Oszillogramme mit denen der Mikrofonsignale verglichen. Weil manche Singularitäten bei Wellen im Zusammenhang mit Nichtlinearitäten stehen, habe ich das wirkliche physikalische Mikrofonsignal statt einer berechneten Faltung dieser Bursts mit der Impulsantwort angesehen.

Man erkennt auf den ersten Blick, dass sich die Anfänge der Bursts höchstens um wenige ms verschieben, Verschiebungen in der Größenordnung der ungefensterten GLZ sind, wie zu erwarten, undenkbar. Die Herkunft dieses Effektes ist aber trotzdem zu sehen: An den rot eingekreisten Stellen springt die Phase. Es liegt nahe, dass die Ursache ähnlich wie bei der Exzessphase (s.o.) im additive Zusammenspiel der Transferfunktionen des Raums zu suchen ist. Die gesamte Phase wird aber nach der Phase aller (irgendwann) ankommenden Signal-Anteile der jeweiligen Frequenz berechnet. Die GLZ berechnet sich wiederum aus der Änderung dieser gesamten Phase pro Frequenzänderung. Entsprechend erscheint im Ergebnis ein erheblicher Sprung. Technisch gesehen ist die Frequenz der Einhüllenden so nah an der Trägerfrequenz, dass nicht mehr die "Laufzeit" des Wellenpaketes beschrieben wird (siehe später).

Für den Hörsinn spielt dieser Effekt aber eine vollkommen andere Rolle als die erste Ankunftszeit des ersten Direktschalls (dünne schwarze Linien): Letztere ist für eine laufzeitbasierte Ortung der Schallquelle entscheidend. Und vermutlich sind wir die Nachfahren derer, die die laufzeitbasierte Ortung eines brüllenden Tigers, unabhängig von irgendwelchen Reflexionen und Phasendrehungen, sicher beherrschten. Das kann und sollte bei der Berechnung berücksichtigt werden, indem anschaulich gesprochen (wenn schon nicht die schwarze Linie, dann wenigstens) nur die ersten Wellenzüge der Messung angesehen werden. Das wiederum ist die Hauptidee hinter FDW.

Man sieht aber auch, dass das Messergebnis ohne FDW nicht wertlos ist. Der Peak zeigt eine eindeutige Besonderheit in der Akustik an, wenn auch durch möglicherweise bereichernden indirekten Schall. Man könnte jetzt Töne mit dieser Frequenz abspielen, im Raum umherlaufen und prüfen, ob diese Besonderheit schon früher als störend wahrgenommen wurde und ggf. die Situation verbessern. Ein quantitativ sinnvolles Ergebnis erhält man erst nach FDW. Dies wird auch als Grundlage für digitale Raumkorrektur (DRC) verwendet. Gängige Meinung [Barnett 2017] ist, dass DRC auf Messungen mit FDW aufbauen muss. Für einfache Einstell-Arbeiten wie den Delay eines Subwoofers ist die geglättete Version ohne FDW dagegen vollkommen ausreichend.

Größe der Zeitfenster bei der digitale Raumkorrektur

Die mit Hifi-Apps generierte digitale Raumkorrektur (DRC) wird an anderer Stelle ausführlich behandelt. Im Unterschied zu einem klassischen Equalizer erlaubt sie nicht nur die Beeinflussung des Frequenzgangs, sondern auch die gezielte Steuerung des zeitlichen Verhaltens einzelner Frequenzbereiche. Der Teilaspekt, welche Frequenzbereiche für die Korrektur "wie lange beobachtet" werden sollen, ist jedoch so eng mit der GLZ verbunden, dass er hier erörtert wird.

Im Folgenden wird erläutert, welche Anteile der Zeitdomäne sinnvoll korrigiert werden sollten, welche nicht, und wie mit der unvermeidlichen Grauzone zwischen beiden umzugehen ist. Eine unkritische, vollständige Korrektur aller Laufzeitfehler würde, wie oben besprochen, zu einem System führen, das schlechter klingt als unkorrigiert. Die sinnvolle Länge eines FIR-DRC-Filters skaliert primär mit der Wellenlänge der jeweiligen zu korrigierenden Frequenz und der zu erzielenden Auflösung bei dieser Frequenz. Eine FIR von 200 ms ist für 50 Hz kurz, für 2 kHz aber extrem lang. Die technisch wichtige Gesamtlänge des Filters richtet sich nach der tiefsten Frequenz. Schmalbandige Korrekturen erzwingen lange Zeitfenster, deshalb ist es sehr fraglich, ob z.B. der ca. 5 Hz breite Peak bei 80 Hz in der Messung korrigiert werden sollte.

Unregelmäßigkeiten wie die in der Messung rot eingekreisten Bereiche zu korrigieren, wäre mit Sicherheit falsch. Sie entstehen durch zufällige Überlagerungen mehrerer Reflexionen genau am Standort des Messmikrofons. Bereits minimale Positionsänderungen — deutlich kleiner als der Ohrabstand — führen hier zu stark veränderten Messwerten, obwohl das wahrgenommene Klangbild insgesamt weitgehend stabil bleibt. Eine darauf basierende Korrekturfunktion würde das Signal an der leicht verschobenen Hörposition mit hoher Wahrscheinlichkeit verschlechtern.

Auf der anderen Seite wäre es auch nicht zielführend, die Länge der FIR-Korrektur grundsätzlich so klein zu halten, dass nur der positionsunabhängige Teil angegangen wird: Der Schall legt in 3 ms ungefähr einen Meter zurück. Bei einem Hörraum mit 3 m Wegunterschied zwischen Direktschall und an der Wand reflektiertem Schall entspräche das ca. 9 ms bei geometrischer Akustik. Anders gesagt erreicht 9 ms nach Beginn des Schallereignisses auch der reflektierte Schall das Ohr. Bei Frequenzen um 100 Hz ist das weniger als die Periodendauer, Messungen (und darauf aufbauende Korrekturen) sind in diesem Bereich entsprechend fehlerbehaftet. Sie enthalten einerseits die gewünschten positionsunabhängige Effekte (Einschwingvorgänge, Zeitfehler, Reflexionen im Lautsprechergehäuse), andererseits besagte Reflexionen mit denen unser Hörsinn ohne Behandlung besser zurechtkommt. In einer Messung mit einem Mikrofon mit Kugelcharakteristik sind diese Effekte allerdings nicht unterscheidbar. In einer perfekten Welt würde man die Seitenwände, Zimmerdecke usw. für die Dauer der Messung entfernen. In der realen Welt sollten Reflexionen von Anfang an raumakustisch behandelt werden, z.B. so, dass [EBU 3276] erfüllt ist.

Erfahrungsgemäß funktioniert DRC aber noch bei 20 Hz = 1/50 ms. Bei 20 Hz ist die Wellenlänge 17 m, das chaotische Muster der Überlagerungen bei 100 Hz ist hier also nicht zu erwarten. Dafür ist ein viel trägeres Zeitverhalten zu erwarten, d.h. bei der Korrektur der GLZ müssen Kompromisse gefunden werden um Nebeneffekte (Preringing) gering zu halten. Anders gesagt ist ein großes Messfenster für diesen Frequenzbereich erforderlich, in die DRC sollte aber eher der Frequenzgang und weniger die GLZ eingehen. Ein intuitives Bild mit derartigen Unterschieden, zusammen mit einer frequenzabhängigen Schallfeldmessung ist bei Versuchen mit verschiedenen Fensterungen hilfreich.

Es gibt die These, nur die Lautsprecher zu entzerren. Gerade ältere, im Grunde gute, aber noch wenig phasenentzerrte Lautsprecher könnten davon profitieren. Hier könnten Freifeldmessungen (im Garten) die Basis bilden. Allerdings werden so keinerlei Asymetrien des Raumes berücksichtigt, was letztlich wahrscheinlich zu einem schlechteren Stereo Bild führt.

Wie lang sollte nun die Korrektur für einen bestimmten Frequenzbereich sein? Bei live Veranstaltungen ist die Antwort einfach: Man muss mit 1024, maximal 4096 Taps (bei 48 kHz) arbeiten, um die Verzögerung unter 100 ms zu halten. Auch DRC's in dieser Länge sind also sinnvoll. Allerdings hat eine Konzerthalle auch andere Raummoden. Bei der heimischen Wiedergabe spielt die Verzögerung keine Rolle, und eine längere DRC führt zu besserer Schärfe in der Frequenz (siehe Tabelle weiter unten). Das ist wiederum Voraussetzung, um verschiedene Frequenz-Komponenten des Direktschalls eines Lautsprechers fein genug für die Korrektur zu erfassen. Und deren zeitliche Abstimmung ist wiederum ist Voraussetzung für gute Klangdefinition: Die Nerven in der Cochlea feuern extrem schnell, um Töne zu kodieren. Die äußeren Haarzellen bewegen sich bis zu 20.000 Mal pro Sekunde (alle 50 µs). Wahrnehmungszeiten für Zeitrichtigkeit können tatsächlich auch weit unter den oben angegebenen Werten liegen, z.B. bei 35 µs, wenn mehrere Töne in einer Art Akkord zusammen angespielt werden - siehe z.B. die Einführung in [Møller 2007] für eine Übersicht. Die Ergebnisse der wissenschaftlichen Untersuchungen können allerdings nicht 1:1 auf die Anforderungen der DRC abgebildet werden: Sie beziehen sich auf bestimmte Signale, oft Rauschen oder Bursts, nicht Musik und wurden oft mit Kopfhörer-Experimenten gemessen. Als Essenz genügt es letztlich zu wissen, dass die angestrebte Korrektur so genau wie möglich sein sollte. Die Antwort auf die Frage am Anfang ist also "so lang wie für die jeweilige Frequenz reflexionsbedingt möglich, um den Phasengang des ersten Direktschalls so genau wie möglich zu erfassen". Das Ergebnis kann dabei durchaus manchmal, bei sehr ungünstiger Verteilung von Reflexionen, auch Null sein kann.

Zusätzlich zu den sinnvollen Obergrenzen gibt es auch absolute Untergrenzen. Bei ihrer Unterschreitung ist eine DRC nicht schlecht, sondern sinnlos: Man kann die Periodendauer eines Blinklichts nicht bestimmen aus einem Video, das nur einen Einschaltvorgang enthält. Ähnlich kann man aus einem Stückchen Schallwelle nicht auf alle enthaltenen Frequenzkomponenten einer längeren Periode schließen. Man braucht mindestens eine komplette Periode, in der Praxis eher zwei, bei einem einschwingenden Subwoofer eher fünf, für eine sichere Messung des gesamten Spektrums manchmal zehn um das Verhalten bei einer bestimmten Frequenz zu studieren. Wie das Bild mit den aufgenommenen Bursts (oben) zeigt, dürfen es aber auch nicht zu viele Perioden sein, wegen besagter Reflexionen. Letztlich sollen nur positionsunabhängige Effekte (Einschwingvorgänge, Zeitfehler, Reflexionen im Lautsprechergehäuse) bei Beginn eines Schallereignisses korrigiert werden, diese Korrektur soll aber so genau wie möglich sein. Zusammen ergeben sich folgende Regeln (nicht Naturgesetze)

• Anschaulich formuliert: Wenn an Hörplatz eins +3dB gemessen wird und an Hörplatz zwei -5 dB, ist entweder die Fensterung der Messung zu groß oder der Hörraum nicht ausreichend gedämmt. Auf jeden Fall ist eine DRC auf Basis dieser Daten sinnlos.
• Allgemeiner: Das Zeitfenster für eine Korrektur sollte danach festgelegt werden, wie positionsabhängig Amplitude und Phase in seinem Frequenzband sind: Spätestens, wenn die Unterschiede zwischen den Hörplätzen in den Bereich der Korrektur kommen, ist das Fenster zu groß.
• Wenn die Dämmung sehr schlecht ist, kann die maximale Fenstergröße für manche Frequenzen auch Null sein.
• FDW sollte als "Positionskonstanz abhängiges Fenstern" gesehen werden. Die Positionskonstanz ist der ausschlaggebende Wert, sie hängt wiederum von der Frequenz ab.
• Korrekturen im Bass-Bereich (unter 200 Hz) erfordern FIR-Längen über 100 ms, der Nutzen ist stark positionsabhängig.
• Die Beispielkonfigurationen in [DRC Sbragion] geben für den minimalphasigen Anteil der Korrektur bei 20 Hz jeweils 250 ms ("minimal"), 500 ms ("normal") oder 544 ms ("strong") vor, bei 20 kHz (also dem 1000-fachen Wert) jeweils 1/1000 davon. Die Werte dazwischen müssen aber nicht zwingend geometrisch (20 Hz 250 ms; 200 Hz 25 ms ...) sein. So kann man mit dem oben beschriebenen intuitiven Bild des Wellenfeldes des jeweiligen Hörraums die Korrektur im mittleren Bereich gezielt kürzer oder länger gestalten. Für die restliche Excessphase liegen die Werte für 20 Hz bei 10,4; 21,3 und 22,7 ms.
• Manche "Einknopf-Systeme", die ohne Vorwissen bedient werden können, begrenzen die Korrektur aus Robustheitsgründen nach oben auf 200–300 Hz.
• Für Korrekturen im Grundtonbereich 200–800 Hz sind FIR-Längen im Bereich weniger Millisekunden sinnvoll.
• Für Korrekturen im Bereich über 800 Hz sind sehr kurze FIRs ausreichend, die Phasenkorrektur ist meist unkritisch.
• Schmalbandige Resonanzen sollten besser per Raumgestaltung und erst, wenn das nicht geht amplitudenmäßig behandelt werden.
• Eine praktische Regel für FDW ist "fünf bis zwanzig Wellenlängen".

Untere Grenze der Zeitfenster bei der digitalen Raumkorrektur

Ein Wert für die kleinstmöglichen Zeitfenster ist die Periodendauer $1/f$, kürzere Korrekturen sind physikalisch sinnlos. Aus den Formeln zur Abschätzung der GLZ ergibt sich ein weiteres Kriterium für die Mindestlängen von Filtern: Ausgangsgedanke ist, dass die Filter identisch zur Transferfunktion sind, nur mit getauschten Nullstellen und Polen. Damit lässt sich nach Vorgabe der Frequenz und der zu erzielenden Bandbreite die Güte, Phasen- und GLZ berechnen. Das Modellsystem ist die IIR (Infinite Impulse Response) eines Allpass-Filters zweiter Ordnung, die Transferfunktion ist als Quotient angesetzt. FIR Filter müssen zur Erreichung vergleichbarer Ergebnisse deutlich, vielleicht 5- bis 10-mal, länger ausgelegt werden. Noch ohne diesen heuristischen Faktor bekommt man folgende Werte für $\tau_{gr, ap 2}(\omega_0)$ und $\tau_{gr, ap 2}(\omega \rightarrow 0)$:

Um also beispielsweise die bei der Messung oben untersuchte Resonanz bei 80 Hz mit ca. 5 Hz Bandbreite zu korrigieren könnte man mit $N=\ln(82,5/77,5)/\ln(2)\simeq0.1$, also Q=15 ansetzen. Der Wert für die GLZ liegt also laut zweitletzter Zeile zwischen 95,49 und 190,99 ms, also etwas tiefer als die Werte der ungefensterten GLZ im Plot, aber in der erwartbaren Größenordnung. Eine kürzere Filterlänge wäre physikalisch sinnlos, dazu kommt noch der "deutlich"-Faktor von 5..10. Man müsste also prüfen, ob sich die Messergebnisse bei dieser Fensterlänge an allen Hörplätzen zumindest so ähnlich verhalten, dass eine Korrektur alle in die gewünschte Richtung bewegt. Das ist wahrscheinlich eher nicht der Fall, in der Praxis werden jedenfalls gerne kleinere Werte, zwischen 5 und 20 Wellenlängen gewählt, also 62,5 bis 250 ms für diese Frequenz. Scharfe Raumresonanzen der gezeigten Art werden aus diesen Gründen nur selten mit Phasenkorrekturen behandelt.

Beim Lautsprecherbau wird mit Güten $Q_{ts}$ im Bereich von 0,3 bis 0,5 - bei geschlossenen Systemen vielleicht 0,6 gearbeitet. Die Werte der erforderlichen Korrekturdauern liegen also im Bereich der durchgestrichenen ersten Tabellenzeile, sollten also mindestens einige Periodendauern der jeweiligen Frequenzen haben.

Für Techniker

Durch die Fouriertransformation der Transferfunktion eines linearen zeitinvarianten Systems wird eine Zeitverschiebung (Delay) $\tau_{d}$ zu einer frequenzproportionalen Phasendrehung: $\mathscr{F}\{ F(\omega)\} = f(t) \Rightarrow \mathscr{F}\{\exp(i \omega \tau_{d}) F(\omega)\} =f(t+\tau_{d})$ wobei $\omega$ die Kreisfrequenz und $t$ die Zeit ist. Anders ausgedrückt kann in diesem einfachen Fall die Transferfunktion als $H(\omega)=k\exp(-i \omega \tau_{d}) $ angesetzt werden, also $$ \begin{align} |H( \omega)| &= k \\ \angle H( \omega) &: = \varphi(\omega) = -\omega \; \tau_{d}\\ \end{align} $$ Wegen des linearen Zusammenhangs zwischen $\omega$ und $\angle H(\omega)$ kann der Delay folglich sowohl als Bruch als auch als Differenzialquotient geschrieben werden: $$ \tau_{d} = - \frac{ \varphi( \omega)}{\omega} = - \frac{ \mathrm{d}\varphi( \omega)}{\mathrm{d}\omega} $$ Der Delay ist nicht frequenzabhängig, einen frequenzabhängigen Delay gibt es nicht. Die Phase steigt linear mit der Zeit, der Filter ist linearphasig. Nur für linearphasige Filter kann ein Delay definiert werden. Es kann aber sinnvoll sein, trotzdem nach subjektiven Kriterien einen linearphasigen Anteil von einem beliebigen Filter zu separieren, z.B. um Bild und Ton so gut es geht zu synchronisieren. $\tau_{d}$ ist einfach die Zeit, die das Signal benötigt, beim Empfänger anzukommen. Anschaulich besagt die Gleichung, dass wenn zur Überbrückung einer bestimmten Entfernung ein Wellenzug einer bestimmten Frequenz benötigt wird, o.B.d.A. zwei Wellenzüge der doppelten Frequenz benötigt werden.

In der realen Welt, z.B. einem Bassreflexkanal, der sich bei einer bestimmten Frequenz aufschwingt, geht dieser einfache Zusammenhang natürlich verloren. Die hinzukommende Frequenzabhängigkeit spiegelt sich in einer Verformung des Wellenzuges wider. Zu dem frequenzunabhängigen Delay kommen frequenzabhängige Laufzeiten. $|H(\omega)|$ kann in dem betrachteten schmalen Frequenzbereich weiter als konstant angenommen werden.

${ \mathrm{d}\varphi( \omega)}/{\mathrm{d}\omega} $ hängt ab jetzt von der jeweils betrachtete Frequenz $\omega_0$ ab. Für die GLZ relevant ist dabei die nahe Umgebung vom jeweiligen $\omega_0$ bzw. das erste Glied der Taylor Entwicklung um $\omega_0$. Man betrachtet immer ein schmales Frequenzband, eine einzelne Frequenz hat kein Zeitverhalten. Wie ganz am Anfang erwähnt, ist die gängige und sicherlich anschaulich brauchbare Formulierung von der Ausbreitungsgeschwindigkeit "einer bestimmten Frequenz" technisch sinnlos. $$ \begin{align} \angle H( \omega) &= \exp\Big(i \varphi(\omega_0) + i (\omega-\omega_0) \varphi'(\omega_0) \Big) \\ &= \exp\Big(i \omega_0 \underbrace{\varphi(\omega_0)/\omega_0}_{-\tau_{ph}} \Big) \exp\Big(i \underbrace{(\omega - \omega_0)}_{\Delta \omega} \underbrace{\varphi'(\omega_0)}_{\to - \tau_{gr}} \Big) \end{align} $$ Das konstante Glied der Entwicklung bzw. der erste $\exp(\cdot)$ Multiplikator in der zweiten Zeile verliert auch die Bedeutung eines reinen Delays, schließlich kann die Laufzeit durch die neue Verallgemeinerung jetzt auch frequenzabhängig sein. Man spricht deshalb jetzt von einer Phasenlaufzeit. $$ \tau_{pd}(\omega) = -\frac{ \varphi(\omega)}{ \omega} \\ $$ Der zweite Faktor kann anschaulich als die Propagation einer Schwebung gesehen werden, die wegen des kleinen $\Delta\omega$ viel langsamer als $\omega_0$ ist. Bei einem frequenzmodulierten Radiosender wäre $\omega_0$ die Trägerfrequenz, z.B. 100 MHz, und $\Delta\omega$ charakterisiert durch die übertragenen Musik, z.B. maximal 15 kHz. $\tau_{gr}$ beschreibt die Zeit, die die Einhüllende eines Signals mit einem schmalen Frequenzbereich um $\omega_0$, benötigt, das ist nicht die Zeit, die das Signal selber benötigt. Da in diesem Bereich die meiste Energie ist, wird im Englischen neben "envelope delay" auch der möglicherweise irreführende Begriff (siehe oben) "energy delay" verwendet. $$ \tau_{gr}(\omega) = -\frac{\mathrm{d} \varphi(\omega)}{\mathrm{d}\omega} \\ $$ Es bleibt aber sinnvoll, $\tau_{pd}$ in einen trivialen Anteil zur Beschreibung der Zeitverschiebung und den (meist entscheidenden) Anteil, der die Frequenzabhängigkeit des Systems durch Resonanzen, Filtereffekte usw. bestimmt, zu splitten. Software zur Darstellung der GLZ bietet deshalb eine "Unroll-Funktion" an, die automatisch oder manuell den Abzug eines linearphasigen Anteils ermöglicht. Damit erhält der User die Möglichkeit, das durch Resonanzen, Filtereffekte usw. bestimme Systemverhalten ohne störende Phasendrehungen anzusehen.

Wie oben gezeigt, muss der langsame Verlauf der Einhüllenden bei Messungen der Raumakustik durch entsprechende Fensterung sichergestellt werden. Andernfalls spiegelt $\tau_{gr}$ nichts die gängige Definition "...wie lange es dauert bis eine bestimmte Frequenz wiedergegeben wird.." wider. Wenn man ein Signal mit einer Trägerfrequenz $\omega$ ansetzt, das durch eine hinreichend langsame Einhüllende moduliert wird, dann teilen sich $\tau_{gr}$ und $\tau_{pd}$ bei der Übertragung dann entsprechend auf: $$ x(t) = \underbrace{ m(t)}_{\text{ Einhüllende }} \underbrace{ \cos(\omega t)}_{\text{ Trägerfrequenz }} \longrightarrow \underbrace{ m(t-\tau_{gr} )}_{\text{ Einhüllende }} \; \underbrace{ \cos(\omega (t- \tau_{pd} ))}_{\text{ Trägerfrequenz }} $$ Ein reiner Phasen Delay $\tau_{pd}$ kann wie oben beschrieben im cos-Term untergebracht werden, der entscheidende Rest verschiebt die Einhüllende in Abhängigkeit davon, welche Frequenz sie einhüllt. Die frequenzabhängige Änderung der Amplitude wurde zur Vereinfachung weggelassen.

Faustregel zur Abschätzung der GLZ

Im APPENDIX 1 von [Møller 2007] wird das Phasenverhalten und die GLZ von Allpässen erster und zweiter Ordnung explizit berechnet. Für die erste Ordnung setzen die Autoren an mit $$ H_{ap 1}(\omega) = \frac{\omega_0-i \omega}{\omega_0+i \omega} $$ wobei $H$ die Transferfunktion und die Frequenz $\omega_0$ durch ihren Pol und die Nullstelle gegeben ist. Sowohl der Zähler als auch der Nenner können wie ein Phasendiagramm gesehen werden, beide haben jeweils den betragsgleichen Phasenwinkel $\tan^{-1}(\omega/\omega_0)$. Der Phasenwinkel des gesamten Systems $\varphi(\omega)$ hat also den doppelten Wert. Damit wird $$ \tau_{ph, ap 1}(\omega) = \frac{2 \tan^{-1}(\omega/\omega_0)}{\omega}; \;\; \tau_{gr, ap 1}(\omega) = -\frac{2 / \omega_0}{1+(\omega/\omega_0)^2} \\ \\ $$ Mit einer analogen Rechnung für einen Allpass zweiter Ordnung kann ein Zusammenhang zwischen Güte und GLZ hergestellt werden. Es ist $$ H_{ap 2}(\omega) = \frac{(i \omega)^2-i \omega (\omega_0/Q) + \omega_0^2 }{(i \omega)^2+i \omega (\omega_0/Q) + \omega_0^2 }, $$ wobei $Q$ die Güte ist. Phasen- und GLZ berechnen sich analog zum Allpass erster Ordnung. Für den Abschnitt Größe der Zeitfenster bei der DRC ist der Peak der GLZ bei $\omega_0$, ihr Zusammenhang mit der Bandbreite von Resonanzen und der Grenzwert bei niedrigen Frequenzen entscheidend. Für Moden hoher Güte $Q>0,5$ ist $$ \tau_{gr, ap 2}(\omega_0) = \frac{4Q}{ \omega_0}; \;\; \tau_{gr, ap 2}(\omega \rightarrow 0) = \frac{2Q}{ \omega_0} $$ wobei die erste Gleichung den Peak der GLZ darstellt.

Numerische Berechnung

In zeitdiskreten Übertragungssystemen, wie sie die digitale Signalverarbeitung darstellt, wird die diskrete GLZ auf das Abtastintervall $T$ bezogen: $$ \frac{\tau_d(\Omega)}{T} = - \frac{\mathrm{d}\,\operatorname{arg}\{H(e^{i\Omega})\} }{\mathrm{d}\Omega} $$ mit der auf die Abtastfrequenz $f_s$ normierten Kreisfrequenz $\Omega$: $$ \Omega = \frac{\omega}{f_\mathrm{s}} = \omega \cdot T $$ Der Vorteil der normierten Form in zeitdiskreten Systemen ist die Unabhängigkeit von konkreten Abtastfrequenzen.

Manche Messgeräte können aus zwei Phasenmessungen bei benachbarten Frequenzen (Näherungswerte für) die GLZ (direkt) berechnen. Die App "Subwoofer Optimizer" bestimmt die Transfer Funktion per Logsweep, der mit dem Algorithmus von Farina ausgewertet wird. Die GLZ wird (nach Glättung) aus dem Differenzialquotient der Phase bestimmt.

Integraler Zugang: Gruppenlaufzeit als Energieschwerpunkt der Impulsantwort

Die GLZ als Ableitung der Phase hat bei Messungen im Hörraum zwei praktische Nachteile, die im Abschnitt Messung der GLZ sichtbar wurden: Sie springt dort, wo sich Schallanteile auslöschen, und das Ergebnis hängt davon ab, wie die Phase bei ±180° "abgewickelt" wird. Beides entfällt, wenn man statt der Ableitung an einzelnen Frequenzen ein Integral über den Frequenzbereich betrachtet. Es gilt exakt $$ \frac{\int \tau_{gr}(\omega)\,|H(\omega)|^2\,\mathrm{d}\omega}{\int |H(\omega)|^2\,\mathrm{d}\omega} \;=\; \frac{\int t\,|h(t)|^2\,\mathrm{d}t}{\int |h(t)|^2\,\mathrm{d}t} $$ Links steht die mit dem Energiespektrum gewichtete mittlere GLZ, rechts der zeitliche Schwerpunkt der Energie der Impulsantwort $h(t)$. In der Zeit-Frequenz-Analyse ist das ein Standardergebnis: Die mittlere Zeit eines Signals ist der Mittelwert seiner Gruppenlaufzeit, gewichtet mit dem Energiespektrum [Cohen 1995].

Herleitung. Mit $H(\omega)=\int h(t)\,e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t$ – also mit derselben Vorzeichenkonvention wie oben, bei der eine Verzögerung zu $\varphi=-\omega\tau_d$ und $\tau_{gr}=-\mathrm{d}\varphi/\mathrm{d}\omega$ führt – ist $H'(\omega) = \int (-it)\,h(t)\,e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t$. Die Fouriertransformierte von $t\,h(t)$ ist also $i\,H'(\omega)$, und das Parseval-Theorem $\int a(t)\,b^*(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2\pi}\int A(\omega)\,B^*(\omega)\,\mathrm{d}\omega$ liefert $$ \int t\,|h(t)|^2\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2\pi}\int i\,H'(\omega)\,H^*(\omega)\,\mathrm{d}\omega . $$ Mit $H = |H|\,e^{i\varphi}$ ist $H' = \big(|H|' + i\,|H|\,\varphi'\big)\,e^{i\varphi}$ und damit $$ i\,H'\,H^* = \frac{i}{2}\,\frac{\mathrm{d}|H|^2}{\mathrm{d}\omega} - \varphi'\,|H|^2 = \frac{i}{2}\,\frac{\mathrm{d}|H|^2}{\mathrm{d}\omega} + \tau_{gr}\,|H|^2 . $$ Das Integral über den ersten Term verschwindet, weil $|H|^2$ an beiden Integrationsgrenzen denselben Wert hat (bei abgetasteten Signalen ist es periodisch); außerdem ist die linke Seite reell. Es bleibt $\int t\,|h|^2\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2\pi}\int \tau_{gr}\,|H|^2\,\mathrm{d}\omega$. Teilt man durch die Gesamtenergie $\int |h|^2\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2\pi}\int |H|^2\,\mathrm{d}\omega$ (ebenfalls Parseval), folgt die Gleichung oben.

Probe. Für den Mittelwertfilter aus dem Beispiel oben mit $h[n]=1/5$ für $n=0\ldots4$ ist der Energieschwerpunkt $(0+1+2+3+4)/5=2$ – derselbe Wert, der sich dort aus der Ableitung der Phase ergab.

Was die Gleichung bedeutet:

• Wo sich Schallanteile auslöschen und die Phase springt, ist $|H|^2$ klein. Die Gewichtung blendet also genau die Stellen aus, an denen die punktweise GLZ "explodiert". Auf der rechten Seite muss keine Phase abgewickelt werden.
• Beschränkt man die Betrachtung mit einem Bandfilter $W(\omega)$ auf ein Frequenzband, gilt die Gleichung für das Produkt $H\cdot W$, und die Gruppenlaufzeiten von $H$ und $W$ addieren sich. Mit einem nullphasigen Bandfilter ist der Energieschwerpunkt des Bandes genau die energiegewichtete GLZ in diesem Band. Ein kausales Bandfilter bringt seine eigene, bekannte Verzögerung mit, die man abziehen muss.
• Der Schwerpunkt ist aber nicht der Anfang: Bei einer gleichmäßig ansteigenden Flanke liegt er in der Mitte. Genau das war der Einwand in den Kritikpunkten zur Burst-Messung. Die GLZ beschreibt grundsätzlich den Schwerpunkt der Energie, nicht die psychoakustisch wichtige erste Wellenfront.

Will man die Einsätze stärker betonen, kann man die Energie eines Bandes $E_b(t)=|h_b(t)|^2$ zusätzlich mit einem exponentiell abfallenden Faktor gewichten: $$ \langle t\rangle_s = \frac{\int t\,e^{-st}\,E_b(t)\,\mathrm{d}t}{\int e^{-st}\,E_b(t)\,\mathrm{d}t} $$ Für $s=0$ ist das der Schwerpunkt; über das volle Frequenzband ist es die Schwerpunktzeit $T_s$ nach [ISO 3382-1]. Mit wachsendem $s$ wandert der Wert zur Erstankunft. Wie groß $s$ sein sollte und wie sich daraus ein Bewertungskriterium für die digitale Raumkorrektur ergibt, beschreibt das Whitepaper Optimierung der Impulsantwort. Ein naheliegender Maßstab ist die Zeitkonstante der Hörfilter aus dem folgenden Abschnitt.

Gammatone-Filter und ERB: die Zeitkonstante des Gehörs

Die Cochlea zerlegt den Schall in überlappende Frequenzbänder. Ihre Breite wird als äquivalente Rechteckbandbreite (equivalent rectangular bandwidth, ERB) angegeben: die Breite eines idealen Rechteckfilters, das bei gleicher Spitzenverstärkung dieselbe Leistung durchlässt wie das Hörfilter. Nach [Glasberg 1990] gilt näherungsweise $$ \mathrm{ERB}(f) = 24{,}7\;\mathrm{Hz}\cdot\left(4{,}37\,\frac{f}{\mathrm{kHz}}+1\right), $$ also etwa 30 Hz bei 50 Hz, 133 Hz bei 1 kHz und 890 Hz bei 8 kHz.

Die Form der Hörfilter beschreibt das Gammatone-Filter sehr gut [Patterson 1992]. Seine Impulsantwort ist eine Schwingung mit der Mittenfrequenz $f_c$ unter einer Einhüllenden aus Potenz- und Exponentialfunktion: $$ g(t) = a\,t^{\,n-1}\,e^{-2\pi b t}\cos(2\pi f_c t+\Phi), \qquad t\ge 0 . $$ Die Ordnung $n=4$ passt am besten zu den gemessenen Hörfiltern, der Parameter $b$ (in Hz) bestimmt die Bandbreite. Der Faktor $t^{n-1}$ beschreibt das Anschwingen, $e^{-2\pi b t}$ das Abklingen. Zerlegt man den Kosinus in zwei komplexe Exponentialfunktionen und transformiert mit $G(f)=\int g(t)\,e^{-2\pi i f t}\,\mathrm{d}t$, wird jeder Faktor $t$ zu einer Ableitung nach der Frequenz, und es ergibt sich $$ G(f) = \frac{a\,(n-1)!}{2\,(2\pi)^n}\left[\frac{e^{i\Phi}}{\big(b+i(f-f_c)\big)^n} + \frac{e^{-i\Phi}}{\big(b+i(f+f_c)\big)^n}\right]. $$ Der zweite Summand gehört zu den negativen Frequenzen und ist in der Nähe von $f_c$ vernachlässigbar. Für das Leistungsspektrum bleibt $$ |G(f)|^2 \simeq \left(\frac{a\,(n-1)!}{2\,(2\pi b)^n}\right)^2 \frac{1}{\Big[1+\big(\frac{f-f_c}{b}\big)^2\Big]^n} . $$

Die ERB ist die Fläche unter diesem Spektrum, geteilt durch seinen Spitzenwert. Mit $x=(f-f_c)/b$ und dem Integral $\int_{-\infty}^{\infty}(1+x^2)^{-n}\,\mathrm{d}x = \pi\,\frac{(2n-2)!}{2^{2n-2}\,[(n-1)!]^2}$ folgt $$ \mathrm{ERB} = b\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)^n} = \frac{5\pi}{16}\,b \quad\text{für } n=4, \qquad\text{also}\qquad b = \frac{16}{5\pi}\,\mathrm{ERB} \approx 1{,}019\cdot\mathrm{ERB} . $$ Das ist der Faktor 1,019, mit dem Gammatone-Filterbänke üblicherweise parametrisiert werden, z.B. in der verbreiteten Implementierung von [Slaney 1993].

Die Einhüllende klingt mit $e^{-2\pi b t}$ ab. Die Zeitkonstante des Hörfilters ist also $$ \tau_{\mathrm{ERB}}(f) = \frac{1}{2\pi\cdot 1{,}019\cdot\mathrm{ERB}(f)}, $$ und das Maximum der Einhüllenden liegt bei $(n-1)\,\tau_{\mathrm{ERB}} = 3\,\tau_{\mathrm{ERB}}$. Stellt man diese Zeitkonstante den Hörschwellen aus dem Abschnitt Ab wann sind Laufzeiteffekte hörbar? gegenüber, ergibt sich ein auffälliger Zusammenhang (eigene Auswertung):

Zwischen 500 Hz und 2 kHz liegen die Schwellen nach [Blauert 1978] beim 1,5- bis 1,7-fachen der Zeitkonstante des Hörfilters. Eine mögliche Deutung: Laufzeitverzerrungen fallen auf, sobald sie das Nachklingen der Hörfilter merklich übersteigen. Oberhalb von 2 kHz bricht der Zusammenhang ab. Das passt dazu, dass das Gehör die Feinstruktur nur bis etwa 1,5 kHz zeitlich auswertet und darüber nur noch die Einhüllenden. Die kleineren Schwellen, die [Liski 2021] mit besonders kritischen, impulsartigen Signalen gemessen hat, liegen dagegen in der Größenordnung der Zeitkonstanten oder darunter – der Zusammenhang ist also eine Faustregel für typische Signale, kein Naturgesetz.

Für die bandweise Auswertung der GLZ folgt daraus eine naheliegende Wahl: Das Bandfilter sollte so breit sein wie das Hörfilter, denn feinere Strukturen löst auch das Gehör nicht auf. Komplexe Gammatone-Filter, die per Definition nur positive Frequenzen durchlassen (analytische Filter), liefern die Einhüllende jedes Bandes direkt und ohne gesonderte Hilbert-Transformation: Analog zur Berechnung der Energy-Time-Curve (ETC) nach Heyser, bei der der fehlende Imaginärteil eines realen Signals nachträglich durch eine Hilbert-Transformation rekonstruiert wird, generiert die komplexe Impulsantwort des Gammatone-Filters diesen Imaginärteil direkt während des Faltungsprozesses. Der Betrag des resultierenden Ausgangssignals entspricht somit unmittelbar der instantanen Einhüllenden des jeweiligen Frequenzbandes. Wie sich damit ein Bewertungskriterium für die Raumkorrektur aufbauen lässt, beschreibt das Whitepaper Optimierung der Impulsantwort.

Literatur

[Barnett] Mitch Barnett: Accurate Sound Reproduction Using DSP. ‎ Independently published (2 April 2017) ISBN-10 ‏ : ‎ 1520977905 ISBN-13 ‏ : ‎ 978-1520977904

[Blauert 1978] Blauert, J. and Laws, P: "Group Delay Distortions in Electroacoustical Systems" Journal of the Acoustical Society of America Volume 63, Number 5, pp. 1478-1483 (May 1978)

[Blauert 1997] J. Blauert: "Spatial Hearing – The Psychophysics of Human Sound Localization", revised edition, MIT Press, Cambridge MA (1997); deutsche Originalausgabe: "Räumliches Hören", S. Hirzel, Stuttgart (1974)

[Brown 2015] A. D. Brown, G. C. Stecker, D. J. Tollin: "The Precedence Effect in Sound Localization", Journal of the Association for Research in Otolaryngology 16(1), pp. 1-28 (2015)

[Burkowitz, Fuchs 2009] Peter K. Burkowitz, Helmut V. Fuchs "Das vernachlässigte Bass-Fundament" Vereinszeitschrift des Verbands Deutscher Tonmeister 2/2009 p. 35

[Carr 1990] C. E. Carr, M. Konishi: "A circuit for detection of interaural time differences in the brain stem of the barn owl", Journal of Neuroscience 10(10), pp. 3227-3246 (1990)

[Clifton 2002] R. K. Clifton, R. L. Freyman, J. Meo: "What the precedence effect tells us about room acoustics", Perception & Psychophysics 64(2), pp. 180-188 (2002)

[Cohen 1995] L. Cohen: "Time-Frequency Analysis", Prentice Hall, Englewood Cliffs NJ (1995), Kapitel 1

[EBU 3276] Listening conditions for the assessment of sound programme material: monophonic and two–channel stereophonic. EBU Tech. 3276 – 2nd edition https://tech.ebu.ch/docs/tech/tech3276.pdf May 1998

[Earl Geddes] mehlau.net/audio/multisub_geddes

[Earl Geddes - YouTube] Earl Geddes on Multiple Subwoofers in Small Rooms https://www.youtube.com/watch?v=SCWL-zusyqw

[falstad.com] "...some educational applets I wrote to help visualize various concepts in math, physics, and engineering..."
http://www.falstad.com/mathphysics.html
http://falstad.com/dfilter/

[Gaus 2026] J. Gaus: "Optimization of Phase Correction for Finite Impulse Response Filters", J. Audio Eng. Soc., Vol. 74, No. 3 (March 2026)

[Glasberg 1990] B. R. Glasberg, B. C. J. Moore: "Derivation of auditory filter shapes from notched-noise data", Hearing Research 47, pp. 103-138 (1990)

[Goertz 2001] Goertz A, Wolff M (2001) "Neue Methoden zur Anpassung von Studiomonitoren an die Raumakustik mit Hilfe digitaler Filterkonzepte" Teil 1 von 2. Fortschritte der Akustik, DAGA 2002 http://www.ifaa-akustik.de/files/DAGA2002-Teil1.PDF http://www.ifaa-akustik.de/files/DAGA2002-Teil2.PDF

[Grätz 1928] L. Grätz "Die Elektrizität und ihre Anwendungen" Jengelhorns Nachf. Stuttgart, 1928

[Haneda 1994] Y. Haneda, S. Makino, Y. Kaneda: "Common Acoustical Pole and Zero Modeling of Room Transfer Functions", IEEE Transactions on Speech and Audio Processing 2(2), pp. 320-328 (1994)

[ISO 3382-1] ISO 3382-1:2009 "Acoustics – Measurement of room acoustic parameters – Part 1: Performance spaces"

[Jeffress 1948] L. A. Jeffress: "A place theory of sound localization", Journal of Comparative and Physiological Psychology 41(1), pp. 35-39 (1948)

[Liski 2021] J. Liski, A. Mäkivirta, V. Välimäki: "Audibility of Group-Delay Equalization", IEEE/ACM Transactions on Audio, Speech, and Language Processing 29, pp. 2189-2201 ( B. R. Glasberg, B. C. J. Moore: "Derivation of auditory filter shapes from notched-noise data", Hearing Research 47, pp. 103-138 (1990)2021) doi:10.1109/TASLP.2021.3087969

[Møller 2007] Møller, Henrik and Minnaar, Pauli and Olesen, Søren and Christensen, Flemming and Plogsties, Jan "On the Audibility of All-Pass Phase in Electroacoustical Transfer Functions" J. Audio Eng. Soc., Vol. 55, No. 3, pp 115-134 (March 2007)

[MSO] Multi Subwoofer Optimizer, Andy C https://www.avsforum.com/threads/optimizing-subwoofers-and-integration-with-mains-multi-sub-optimizer.2103074/

[Münker 2016] Christian Münker: "DSP auf FPGAs: Kap. 5-2 Do-It-Yourself FIR Filterentwurf" https://www.youtube.com/watch?v=y0PNXUI5x1U

[Patterson 1992] R. D. Patterson, K. Robinson, J. Holdsworth, D. McKeown, C. Zhang, M. Allerhand: "Complex sounds and auditory images", in: Y. Cazals, L. Demany, K. Horner (Hrsg.): Auditory Physiology and Perception, Pergamon, Oxford (1992), pp. 429-446

[sengpielaudio] "Bandpassfilter (BPF) und EQ-Filter - Beziehung zwischen Q-Faktor und Bandbreite B " https://sengpielaudio.com/Rechner-bandbreite.htm

[Slaney 1993] M. Slaney: "An Efficient Implementation of the Patterson-Holdsworth Auditory Filter Bank", Apple Computer Technical Report #35 (1993)

[Welti Devantier] Todd Welti, Allan Devantier: Low-Frequency Optimization Using Multi Subwoofers. Harman International Industries Inc. Northbridge CA 91329 USA, Manuscript received 2006

[Welti Harman] Subwoofers: Optimum Number and Locationsby Todd Welti Research Acoustician, Harman International Industries, Inc.twelti@harman.com multsubs_0.pdf links folien rechts text Seite 4 "Multiple Subwoofers != Multiple Subwoofer Channels"

Forendiskussion. Aktuell (Okt 2020) 234 Seiten. https://www.diyaudio.com/forums/subwoofers/134568-multiple-subs-geddes-approach-149.html

Eine Art Review mit Raummoden, Welti, Geddes etc. Subwoofer / Low Frequency Optimization By Amir Majidimehr [Note: This article was published in the May/June 2012 issue of Widescreen Review Magazine]